Впишите участников по одному в строке — выберу одного честным жребием.
Да, числа берутся у криптографического генератора браузера, а перемешивание идёт алгоритмом Фишера—Йетса, где все порядки равновероятны.
Покажите экран во время нажатия или проведите жеребьёвку при всех. Проверить задним числом результат нельзя — он нигде не сохраняется.
Каждое нажатие — независимый бросок, поэтому да, число может выпасть дважды подряд. Это признак честного случая, а не ошибки.